यदि {C_r} का अर्थ ^n{C_r} है,तो श्रेणी frac{{ | vedclass

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Question

(D) माना $S = \sum_{r=0}^{n} (-1)^r (r+1) C_r^2$. हम जानते हैं कि सम $n$ के लिए $\sum_{r=0}^{n} (-1)^r C_r^2 = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!}$ होत

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${( - 1)^{n/2}}(n + 2)$

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(D) माना $S = \sum_{r=0}^{n} (-1)^r (r+1) C_r^2$. हम जानते हैं कि सम $n$ के लिए $\sum_{r=0}^{n} (-1)^r C_r^2 = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!}$ होता है। साथ ही,$\sum_{r=0}^{n} (-1)^r r C_r^2 = (-1)^{n/2} \frac{n}{2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!}$ होता है। अतः,$S = \sum_{r=0}^{n} (-1)^r C_r^2 + \sum_{r=0}^{n} (-1)^r r C_r^2$. $S = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} + (-1)^{n/2} \frac{n}{2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!}$. $S = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} (1 + n/2) = (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} \frac{n+2}{2}$. $\frac{2(n/2)!(n/2)!}{n!}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{2(n/2)!(n/2)!}{n!} 	imes (-1)^{n/2} \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} \frac{n+2}{2} = (-1)^{n/2}(n+2)$.

यदि ${C_r}$ का अर्थ $^n{C_r}$ है,तो श्रेणी $\frac{{2(n/2)!(n/2)!}}{{n!}}[C_0^2 - 2C_1^2 + 3C_2^2 - ..... + {( - 1)^n}(n + 1)C_n^2]$ का योग,जहाँ $n$ एक सम धनात्मक पूर्णांक है,क्या है?

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यदि $\frac{{}^{11}C_1}{2} + \frac{{}^{11}C_2}{3} + \dots + \frac{{}^{11}C_9}{10} = \frac{n}{m}$ जहाँ $\gcd(n, m) = 1$ है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $(1+x)^n$ के विस्तार में $x^4, x^5$ और $x^6$ के गुणांक समांतर श्रेणी में हैं,तो $n$ का अधिकतम मान क्या है?

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