यदि sum_{r=0}^{20} {}^{20+r}C_r = frac{p}{q} | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$।दिया गया योग $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{20+r}C_r = {}^{20}C_0 + {}^{21}C_1 + {}^{22}C_

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$1240$

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(C) हम जानते हैं कि ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$।दिया गया योग $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{20+r}C_r = {}^{20}C_0 + {}^{21}C_1 + {}^{22}C_2 + \dots + {}^{40}C_{20}$ है।चूंकि ${}^{20}C_0 = 1 = {}^{21}C_0$,हम लिख सकते हैं $S = {}^{21}C_0 + {}^{21}C_1 + {}^{22}C_2 + \dots + {}^{40}C_{20}$।सर्वसमिका ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ का बार-बार उपयोग करने पर:${}^{21}C_0 + {}^{21}C_1 = {}^{22}C_1$।फिर ${}^{22}C_1 + {}^{22}C_2 = {}^{23}C_2$।इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,योग ${}^{40}C_{20} + {}^{40}C_{21} = {}^{41}C_{21}$ हो जाता है।अब,${}^{41}C_{21} = \frac{41}{21} 	imes {}^{40}C_{20}$।अतः,$\frac{p}{q} = \frac{41}{21}$,जिससे $p = 41$ और $q = 21$ प्राप्त होता है।चूंकि $GCD(41, 21) = 1$,हम गणना करते हैं $p^2 - q^2 = 41^2 - 21^2 = (41 - 21)(41 + 21) = 20 	imes 62 = 1240$।

यदि $\sum_{r=0}^{20} {}^{20+r}C_r = \frac{p}{q} {}^{40}C_{20}$ और $GCD(p, q) = 1$ है,तो $p^2 - q^2 =$

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$C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \dots + C_{n-r} C_n =$

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यदि $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{}^{20}{C_{i - 1}}}}{{{}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i - 1}}}}} \right)} ^3 = \frac{k}{21}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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