यदि {T_n} = frac{{{3^n}}}{{2(n!)}} - frac{1}{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि ${T_n} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{3^n}}}{{n!}} - \frac{1}{{n!}}} \right]$.अतः,श्रेणी का योग ${S_\infty} = \sum_{n=1}^\infty {T_n}

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$\frac{{{e^3} - e}}{2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि ${T_n} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{3^n}}}{{n!}} - \frac{1}{{n!}}} \right]$.अतः,श्रेणी का योग ${S_\infty} = \sum_{n=1}^\infty {T_n} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} \right]$ है।हम जानते हैं कि चरघातांकी श्रेणी $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}$ है,जिसका अर्थ है कि $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$.प्रथम भाग के लिए,$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} = e^3 - 1$.द्वितीय भाग के लिए,$\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}{n!} = e^1 - 1 = e - 1$.इन मानों को ${S_\infty}$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:${S_\infty} = \frac{1}{2} \left[ (e^3 - 1) - (e - 1) \right] = \frac{1}{2} (e^3 - 1 - e + 1) = \frac{e^3 - e}{2}$.

यदि ${T_n} = \frac{{{3^n}}}{{2(n!)}} - \frac{1}{{2(n!)}}$ है,तो ${S_\infty } = $

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$\frac{1 \cdot 2}{1!} + \frac{2 \cdot 3}{2!} + \frac{3 \cdot 4}{3!} + \frac{4 \cdot 5}{4!} + \dots \infty = $

यदि $y = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ है,तो $x = $

$\frac{2}{2!} + \frac{2+4}{3!} + \frac{2+4+6}{4!} + \dots$ का मान ज्ञात कीजिए।

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