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Question

(D) हम जानते हैं कि $\cosh(x)$ का श्रेणी विस्तार $1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ होता है।अतः,दिया गया व्यंजक ${

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$\frac{{{2^{n - 1}}}}{{n!}}$

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(D) हम जानते हैं कि $\cosh(x)$ का श्रेणी विस्तार $1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ होता है।अतः,दिया गया व्यंजक ${\left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)^2}$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें $\frac{1}{4}(e^{2x} + e^{-2x} + 2)$ प्राप्त होता है।$e^{2x} + e^{-2x} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!} = 2 \left( 1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \dots + \frac{(2x)^n}{n!} + \dots \right)$ का उपयोग करते हुए।इसे वापस रखने पर,व्यंजक $\frac{1}{4} \left( 2 + 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{2k} x^{2k}}{(2k)!}$ हो जाता है।सम संख्या $n > 0$ के लिए,$x^n$ का गुणांक $\frac{1}{2} \cdot \frac{2^n}{n!} = \frac{2^{n-1}}{n!}$ है।

यदि $n$ एक सम संख्या है,तो ${\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} + \dots} \right)^2}$ के विस्तार में ${x^n}$ का गुणांक क्या है?

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