एक व्यक्ति चार पेपरों की परीक्षा देता है,जिसमें प्रत्येक पेपर में अधिकतम $m$ अंक हैं। कुल $2m$ अंक प्राप्त करने के तरीकों की संख्या है

$(\alpha + p)^{m - 1} + (\alpha + p)^{m - 2} (\alpha + q) + (\alpha + p)^{m - 3} (\alpha + q)^2 + \dots + (\alpha + q)^{m - 1}$ के विस्तार में $\alpha^t$ का गुणांक ज्ञात कीजिए,जहाँ $\alpha \neq -q$ और $p \neq q$ है।

$(\sqrt{2} + 3^{1/5})^{10}$ के द्विपद विस्तार में परिमेय पदों का योग क्या है?

यदि $\sum_{r=1}^9 \left(\frac{r+3}{2^r}\right) \cdot {}^9C_r = \alpha \left(\frac{3}{2}\right)^9 - \beta$,जहाँ $\alpha, \beta \in N$,तो $(\alpha + \beta)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

किसी $n \neq 10$ के लिए,यदि $(1+x)^{n+4}$ के द्विपद विस्तार में $5^{\text{th}}$,$6^{\text{th}}$ और $7^{\text{th}}$ पदों के गुणांक $A.P.$ में हैं,तो $(1+x)^{n+4}$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक क्या है?

मान लीजिए कि $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$,$(1-3 \beta x)^{2}$ और $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ के विस्तार में मध्य पदों के गुणांक,जहाँ $\beta > 0$,क्रमशः एक $A.P.$ के पहले तीन पद बनाते हैं। यदि $d$ इस $A.P.$ का सार्व अंतर है,तो $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।