જો $\overline{a}=\frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i}+\hat{k})$ અને $\overline{b}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$ હોય,તો $(2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot [(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b})] = $ ની કિંમત શોધો.

જો સમાંતર ષષ્ટફલકનું ઘનફળ $546$ હોય,જેની પાસપાસેની બાજુઓ $-12i + \alpha k$,$3j - k$ અને $2i + j - 15k$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જેની સહ-અંતિમ ધારાઓ $\hat{j}+\hat{k}$, $\hat{i}+\hat{k}$ અને $\hat{i}+\hat{j}$ હોય તેવા સમાંતરફલકનું ઘનફળ કેટલું થાય ($\text{ઘન એકમ}$ માં)?

ધારો કે $\vec{v}=\alpha \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{w}=2 \alpha \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,અને $\vec{u}$ એક એવો સદિશ છે કે જેથી $|\vec{u}|=\alpha > 0$ થાય. જો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\alpha \sqrt{3401}$ હોય,અને $|\vec{u} \cdot \hat{i}|^2=\frac{m}{n}$ જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે,તો $m + n$ ની કિંમત $.........$ થાય.

જો સદિશો $2i - j + k$,$i + 2j - 3k$ અને $3i + aj + 5k$ સમતલીય હોય,તો $a$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો સદિશો $ai + j + k$,$i + bj + k$,અને $i + j + ck$ $(a \ne 1, b \ne 1, c \ne 1)$ સમતલીય હોય,તો $\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 - b} + \frac{1}{1 - c} = $ ની કિંમત શોધો.