यदि $\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\overline{a} \cdot \overline{b}=1$ और $\overline{a} \times \overline{b}=\hat{j}-\hat{k}$ है,तो $\overline{b}$ क्या है?

प्रथम अष्टांश में स्थित उस घन पर विचार करें जिसकी भुजाएँ $OP, OQ$ और $OR$ की लंबाई $1$ है,जो क्रमशः $x$-अक्ष,$y$-अक्ष और $z$-अक्ष के अनुदिश हैं,जहाँ $O(0,0,0)$ मूलबिंदु है। मान लीजिए $S\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ घन का केंद्र है और $T$ मूलबिंदु $O$ के विपरीत घन का शीर्ष है,इस प्रकार कि $S$ विकर्ण $OT$ पर स्थित है। यदि $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{SP}, \overrightarrow{q} = \overrightarrow{SQ}, \overrightarrow{r} = \overrightarrow{SR}$ और $\overrightarrow{t} = \overrightarrow{ST}$ है,तो $|(\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}) \times (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{t})|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\bar{a}=4 \bar{i}+5 \bar{j}-\bar{k}$,$\bar{b}=\bar{i}-4 \bar{j}+5 \bar{k}$,$\bar{c}=3 \bar{i}+\bar{j}-\bar{k}$ और मान लीजिए $\bar{\alpha}$ एक ऐसा सदिश है जो $\bar{a}$ और $\bar{b}$ दोनों के लंबवत है,ताकि $\bar{\alpha} \cdot \bar{c}=63$ हो। तो $\bar{\alpha}=$

मान लीजिए $L_1: \frac{x+2}{5}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-6}{1}$ और $L_2: \frac{x-3}{4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{5}$ दी गई रेखाएं हैं। तो $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश क्या है?

दो सदिशों $3i + 2j - k$ और $12i + 5j - 5k$ के बीच के कोण की ज्या (sine) क्या होगी?

किसी भी सदिशों $a, b, c$ के लिए,व्यंजक $a \times (b + c) + b \times (c + a) + c \times (a + b) = $ का मान ज्ञात कीजिए।