જો $A_i = \begin{bmatrix} a^i & b^i \\ b^i & a^i \end{bmatrix}$ અને જો $|a| < 1, |b| < 1$ હોય,તો $\sum_{i=1}^{\infty} \det(A_i)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A$ એ $2 \times 2$ ક્રમનો શ્રેણિક છે,જેના ઘટકો ગણ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી છે. જો $A$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો એક અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ હોય,જ્યાં $2 < p < 8$,તો આવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા કેટલી થાય?

ધારો કે ન્યૂનતમ $m$ $(m \in Z^+)$ એ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ની ઘાત તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે જેથી $A^m = I$. જો $A^5 = I$ અને $ABA^{-1} = B^2$ હોય,તો શ્રેણિક $B$ ની ઘાત $k$ કે જેના માટે $B^k = I$ થાય તે કોની વચ્ચે છે?

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$ એ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતા બે $2 \times 1$ શ્રેણિકો છે,જેથી $A = XB$,જ્યાં $X = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & k \end{bmatrix}$ અને $k \in R$. જો $a_1^2 + a_2^2 = \frac{2}{3}(b_1^2 + b_2^2)$ અને $(k^2 + 1)b_2^2 \neq -2b_1b_2$ હોય,તો $k$ ની કિંમત ....... છે.

ધારો કે $A = \left| \begin{array}{cc} 2 & e^{i \pi} \\ -1 & i^{2012} \end{array} \right|$,$C = \left. \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \right|_{x=1}$,અને $D = \int_{e^2}^{1} \frac{dx}{x}$. જો સમીકરણ $Ax^3 + Bx^2 + Cx - D = 0$ ના બે બીજનો સરવાળો શૂન્ય હોય,તો $B$ ની કિંમત શોધો:

કોઈ $\alpha, \beta \in R$ માટે, ધારો કે $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & \beta \end{bmatrix}$ એવા છે કે $A^{2} - 4A + 2I = B^{2} - 3B + I = O$. તો $(\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})))^{2}$ ની કિંમત .... છે.