કોઈ $\alpha, \beta \in R$ માટે, ધારો કે $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & \beta \end{bmatrix}$ એવા છે કે $A^{2} - 4A + 2I = B^{2} - 3B + I = O$. તો $(\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})))^{2}$ ની કિંમત .... છે.

ધારો કે ત્રણ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$,અને $C = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$ છે. તો $Tr(A) + Tr\left( \frac{ABC}{2} \right) + Tr\left( \frac{A(BC)^2}{4} \right) + Tr\left( \frac{A(BC)^3}{8} \right) + \dots + \infty$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ એ પૂર્ણાંક ઘટકો $a, b, c$ ધરાવતો $2 \times 2$ સંમિત શ્રેણિક છે. નીચેનામાંથી કઈ શરતો ખાતરી આપે છે કે $M$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે?
$(A)$ પ્રથમ સ્તંભ એ બીજી હારના પરિવર્તિત શ્રેણિક જેટલો છે.
$(B)$ બીજી હાર એ પ્રથમ સ્તંભના પરિવર્તિત શ્રેણિક જેટલી છે.
$(C)$ $M$ એ શૂન્યતર વિકર્ણ ઘટકો ધરાવતો વિકર્ણ શ્રેણિક છે.
$(D)$ $ac$ એ પૂર્ણવર્ગ નથી.

જો $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો હોય અને $|A| \neq 0$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો $A$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો ચોરસ શ્રેણિક હોય અને $|A| = 2$ હોય,તો $|(A-A^T)^6| + |(A^T-A)^7|$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $A^T$ એ શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક દર્શાવે છે).

ધારો કે $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2017 & 2 \\ 1 & 2017 & 4 \\ 1 & 2018 & 8 \end{bmatrix}$. તો,$|2A| - |2A^{-1}|$ ની કિંમત શોધો.