यदि A और B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं,तो A | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^T = A$ और $B^T = B$ है। मान लीजिए आव्यूह $X = AB - BA$ है। यह जांचने के लिए कि $X$ सममित है या

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विषम सममित आव्यूह

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^T = A$ और $B^T = B$ है। मान लीजिए आव्यूह $X = AB - BA$ है। यह जांचने के लिए कि $X$ सममित है या विषम सममित,हम इसका परिवर्त आव्यूह ज्ञात करते हैं: $X^T = (AB - BA)^T = (AB)^T - (BA)^T$. गुणधर्म $(PQ)^T = Q^T P^T$ का उपयोग करने पर: $X^T = B^T A^T - A^T B^T$. चूंकि $A^T = A$ और $B^T = B$ है,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: $X^T = BA - AB = -(AB - BA) = -X$. चूंकि $X^T = -X$ है,इसलिए आव्यूह $AB - BA$ एक विषम सममित आव्यूह है।

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के सममित आव्यूह हैं,तो $AB - BA$ एक . . . . . . है।

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आव्यूह $B=\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right]$ को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।

जब $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]$ हो,तो $\frac{1}{2}(A+A^{\prime})$ और $\frac{1}{2}(A-A^{\prime})$ ज्ञात कीजिए।

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