જો $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{k^{2}}=1$ એ અતિવલય (hyperbola) હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું હોઈ શકે?

એક અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો $2x + 3y = 0$ અને $3x + 2y = 0$ ને સમાંતર છે. જેનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ પર હોય અને જે $(5, 3)$ માંથી પસાર થાય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

$m$ ની કિંમત શોધો,જેના માટે રેખા $y = mx + \frac{25\sqrt{3}}{3}$ એ શાંકવ $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ નો અભિલંબ હોય.

વિધાન: અતિવલય $9x^2 - 16y^2 = 9$ પરના બિંદુઓ $P(\frac{\pi}{4})$ અને $P(\frac{\pi}{3})$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{1}{4} \sqrt{66 - 32\sqrt{2} - 18\sqrt{3}}$ છે.
કારણ: $x = a \cosh t, y = b \sinh t$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના પ્રચલ સમીકરણો છે.

જો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{4}$ હોય અને નાભિલંબની લંબાઈ $9$ હોય,તો $ab$ ની કિંમત શોધો.

એક અતિવલય બિંદુ $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ પર છે. તો આ અતિવલય પર $P$ આગળ દોરેલા સ્પર્શક પર આવેલું બિંદુ કયું છે?