यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो $A^{2} + xA + yI = 0$ के लिए $(x, y)$ का मान क्या है?

मान लीजिए $M = (a_{ij})$,$i, j \in \{1, 2, 3\}$,एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ यदि $j+1$,$i$ से विभाज्य है तो $a_{ij} = 1$,अन्यथा $a_{ij} = 0$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $M$ व्युत्क्रमणीय है
$(B)$ एक शून्येतर स्तंभ आव्यूह $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$ का अस्तित्व है ताकि $M \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ -a_3 \end{bmatrix}$
$(C)$ समुच्चय $\{X \in \mathbb{R}^3 : MX = 0, X \neq 0\}$ रिक्त नहीं है,जहाँ $0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$(D)$ आव्यूह $(M - 2I)$ व्युत्क्रमणीय है,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है

समीकरणों $x+y+z=3$, $x+2y+2z=6$ और $x+ay+3z=b$ के

मान लीजिए $k_1$ और $k_2$,$k$ के वे अधिकतम और न्यूनतम मान हैं जिनके लिए समीकरण निकाय $x + ky = 1$,$kx + y = 2$,और $x + y = k$ संगत हैं। तो $k_1^2 + k_2^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 \\ 0 & 3 & -5 \\ -2 & 5 & -9 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} a \\ -b \\ -c \end{bmatrix}$ है। यदि $A$ और $[A: B]$ की कोटि (rank) समान है, तो:

समीकरणों $x + y - z = 0$,$3x - y - z = 0$,और $x - 3y + z = 0$ के हलों की संख्या है