यदि y=x^{sin x}+(sin x)^x है,तो x=frac{pi}{2} | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$y=x^{\sin x}+(\sin x)^x$। मान लीजिए $u=x^{\sin x}$ और $v=(\sin x)^x$। तब $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$। $u=x^{\sin

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(C) दिया गया है,$y=x^{\sin x}+(\sin x)^x$। मान लीजिए $u=x^{\sin x}$ और $v=(\sin x)^x$। तब $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$। $u=x^{\sin x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = \sin x \log x$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \sin x \cdot \frac{1}{x} + \cos x \log x$। अतः,$\frac{du}{dx} = x^{\sin x} \left( \frac{\sin x}{x} + \cos x \log x \right)$। $v=(\sin x)^x$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log v = x \log(\sin x)$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + \log(\sin x) = x \cot x + \log(\sin x)$। अतः,$\frac{dv}{dx} = (\sin x)^x (x \cot x + \log(\sin x))$। $x = \frac{\pi}{2}$ पर: $\frac{du}{dx} = (\frac{\pi}{2})^{\sin(\pi/2)} (\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} + \cos(\pi/2) \log(\pi/2)) = (\frac{\pi}{2})^1 (\frac{1}{\pi/2} + 0) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{\pi} = 1$। $\frac{dv}{dx} = (\sin(\pi/2))^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} \cot(\pi/2) + \log(\sin(\pi/2))) = (1)^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} \cdot 0 + \log(1)) = 1 \cdot (0 + 0) = 0$। अतः,$\frac{dy}{dx} = 1 + 0 = 1$।

यदि $y=x^{\sin x}+(\sin x)^x$ है,तो $x=\frac{\pi}{2}$ पर $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।

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