यदि I_{1}=int_{0}^{pi / 2} x sin x , dx और I_ | vedclass

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Question

(D) हमें $I_{1} = \int_{0}^{\pi / 2} x \sin x \, dx$ और $I_{2} = \int_{0}^{\pi / 2} x \cos x \, dx$ दिया गया है। खंडशः समाकलन (integration by parts) क

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$I_{1}+I_{2}=\frac{\pi}{2}$

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(D) हमें $I_{1} = \int_{0}^{\pi / 2} x \sin x \, dx$ और $I_{2} = \int_{0}^{\pi / 2} x \cos x \, dx$ दिया गया है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$। $I_{1}$ के लिए,$u = x$ और $dv = \sin x \, dx$ लें। तब $du = dx$ और $v = -\cos x$ होगा। $I_{1} = [x(-\cos x)]_{0}^{\pi / 2} - \int_{0}^{\pi / 2} (-\cos x) \, dx = [0 - 0] + [\sin x]_{0}^{\pi / 2} = 1 - 0 = 1$। $I_{2}$ के लिए,$u = x$ और $dv = \cos x \, dx$ लें। तब $du = dx$ और $v = \sin x$ होगा। $I_{2} = [x \sin x]_{0}^{\pi / 2} - \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \, dx = [\frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) - 0] - [-\cos x]_{0}^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2} - [-(0 - 1)] = \frac{\pi}{2} - 1$। दोनों परिणामों को जोड़ने पर,$I_{1} + I_{2} = 1 + (\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{\pi}{2}$। अतः,सही विकल्प $D$ है।

यदि $I_{1}=\int_{0}^{\pi / 2} x \sin x \, dx$ और $I_{2}=\int_{0}^{\pi / 2} x \cos x \, dx$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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यदि $f(t) = \int_{-t}^t \frac{e^{-|x|}}{2} dx$ है, तो $\lim_{t \rightarrow \infty} f(t)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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