यदि [x] महत्तम पूर्णांक फलन है जो x से बड़ा न | vedclass

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Question

(D) समाकलन $\int_{0}^{11} [x] dx$ को इकाई लंबाई के अंतरालों में विभाजित किया जा सकता है जहाँ $[x]$ स्थिर रहता है:$\int_{0}^{11} [x] dx = \sum_{k=0}^{1

Vedclass · Accepted Answer

$55$

Vedclass · Answer

(D) समाकलन $\int_{0}^{11} [x] dx$ को इकाई लंबाई के अंतरालों में विभाजित किया जा सकता है जहाँ $[x]$ स्थिर रहता है:$\int_{0}^{11} [x] dx = \sum_{k=0}^{10} \int_{k}^{k+1} [x] dx$चूंकि $x \in [k, k+1)$ के लिए,$[x] = k$ होता है,इसलिए:$\int_{k}^{k+1} [x] dx = \int_{k}^{k+1} k dx = k(k+1 - k) = k$अतः,योग इस प्रकार होगा:$\int_{0}^{11} [x] dx = \sum_{k=0}^{10} k = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 	imes 11}{2} = 55$इस प्रकार,समाकलन का मान $55$ है।

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है जो $x$ से बड़ा नहीं है,तो $\int_{0}^{11} [x] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $[\bullet]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है, तो $\int_0^{2 \pi} [|\sin x| + |\cos x|] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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