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Question

(C) दिया गया है $x+y=20$। हम $f(x, y) = x^3 y$ को अधिकतम करना चाहते हैं। $\frac{x}{3}, \frac{x}{3}, \frac{x}{3}, y$ पदों के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उप

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$\frac{\alpha}{\beta}$

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(C) दिया गया है $x+y=20$। हम $f(x, y) = x^3 y$ को अधिकतम करना चाहते हैं। $\frac{x}{3}, \frac{x}{3}, \frac{x}{3}, y$ पदों के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर: $\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + y}{4} \geq \sqrt[4]{\left(\frac{x}{3}ight)^3 y}$ $\frac{x+y}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}}$ $\frac{20}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}} \Rightarrow 5 \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}}$ $5^4 \geq \frac{x^3 y}{27} \Rightarrow x^3 y \leq 27 	imes 625 = 16875$. अतः,$k = 16875$। अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\frac{x}{3} = y$ हो। चूंकि $x+y=20$,हमारे पास $3y+y=20$ $\Rightarrow 4y=20$ $\Rightarrow y=5=\beta$ और $x=15=\alpha$ है। अब,$\frac{k}{\alpha^2 \beta^2} = \frac{27 	imes 625}{15^2 	imes 5^2} = 3$। चूंकि $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{15}{5} = 3$,सही विकल्प $\frac{\alpha}{\beta}$ है।

यदि $x, y$ दो धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि $x+y=20$ और $x^3 y$ का अधिकतम मान $x=\alpha, y=\beta$ पर $k$ है,तो $\frac{k}{\alpha^2 \beta^2} =$

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