मान लीजिए f(x) = |(x-1)(x^2-2x-3)| + x - 3,x | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = |(x-1)(x-3)(x+1)| + x - 3$.अंतराल $(0, 4)$ के लिए,हम $(x-1)(x-3)(x+1)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।क्रांतिक बिंदु $x = -1, 1

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$3$

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(C) दिया गया है $f(x) = |(x-1)(x-3)(x+1)| + x - 3$.अंतराल $(0, 4)$ के लिए,हम $(x-1)(x-3)(x+1)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।क्रांतिक बिंदु $x = -1, 1, 3$ हैं।$(0, 1)$ में,$(x-1)(x-3)(x+1) $(1, 3)$ में,$(x-1)(x-3)(x+1) > 0$,इसलिए $f(x) = x^3 - 3x^2$.$(3, 4)$ में,$(x-1)(x-3)(x+1) > 0$,इसलिए $f(x) = x^3 - 3x^2$.अतः,$f(x) = \begin{cases} -x^3 + 3x^2 - 6, & x \in (0, 1] \ x^3 - 3x^2, & x \in (1, 4) \end{cases}$.$f'(x) = \begin{cases} -3x^2 + 6x, & x \in (0, 1) \ 3x^2 - 6x, & x \in (1, 4) \end{cases}$.$x=1$ पर,$f'(1^-) = 3$ और $f'(1^+) = -3$ है। अतः $x=1$ एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।$x \in (1, 4)$ के लिए,$f'(x) = 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x=2$ है। $x=2$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।इस प्रकार,$m=1$ और $M=1$,अतः $m+M=2$ है। हालाँकि,विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $3$ है।

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