જો $\frac{2+3i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય,તો $\cos^2 \theta=$

જો $z_1 = 2 - 3i$ અને સમીકરણ $z^3 + bz^2 + cz + d = 0$ ના બીજ $i$,$z_1$ અને $\bar{z}_1$ હોય,તો $b + c + d =$

વિધાનો પૈકી:
$(S1) :$ ગણ $\{z \in \mathbb{C} - \{-i\} : |z|=1 \text{ અને } \frac{z-i}{z+i} \text{ શુદ્ધ વાસ્તવિક છે}\}$ માં બરાબર બે ઘટકો છે,અને
$(S2) :$ ગણ $\{z \in \mathbb{C} - \{-1\} : |z|=1 \text{ અને } \frac{z-1}{z+1} \text{ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે}\}$ માં અનંત ઘટકો છે.

ધારો કે $Z_1, Z_2, Z_3$ એ ત્રણ શૂન્યતર સંકર સંખ્યાઓ છે જેથી $a = |Z_1|, b = |Z_2|, c = |Z_3|$. જો નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ હોય,તો:

જો $a \pm ib$ અને $b \pm ai$ એ $x^4-10x^3+50x^2-130x+169=0$ ના બીજ હોય,તો $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=$

બે સંખ્યાઓ $k_1$ અને $k_2$ ને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણમાંથી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. તો,$i^{k_1} + i^{k_2}$ (જ્યાં $i = \sqrt{-1}$) નું મૂલ્ય શૂન્ય ન હોય તેની સંભાવના કેટલી થાય?