यदि 1, a, a^2, ldots, a^{n-1} इकाई के n वें म | vedclass

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Question

(B) माना $\omega = a$ है। इकाई के $n$ वें मूल $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}$ हैं।हम जानते हैं कि $x^n - 1 = (x-1)(x-\omega)(x-\omega^2) \

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$\frac{(n-2) 2^{n-1}+1}{2^n-1}$

Vedclass · Answer

(B) माना $\omega = a$ है। इकाई के $n$ वें मूल $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}$ हैं।हम जानते हैं कि $x^n - 1 = (x-1)(x-\omega)(x-\omega^2) \ldots (x-\omega^{n-1})$ होता है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln(x^n - 1) = \ln(x-1) + \ln(x-\omega) + \ln(x-\omega^2) + \ldots + \ln(x-\omega^{n-1})$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{n x^{n-1}}{x^n - 1} = \frac{1}{x-1} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{x-\omega^i}$।योग को अलग करने पर:$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{x-\omega^i} = \frac{n x^{n-1}}{x^n - 1} - \frac{1}{x-1}$।$x = 2$ रखने पर:$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{2-\omega^i} = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n - 1} - \frac{1}{2-1} = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n - 1} - 1$।व्यंजक को सरल करने पर:$\frac{n \cdot 2^{n-1} - (2^n - 1)}{2^n - 1} = \frac{n \cdot 2^{n-1} - 2 \cdot 2^{n-1} + 1}{2^n - 1} = \frac{(n-2) 2^{n-1} + 1}{2^n - 1}$।

यदि $1, a, a^2, \ldots, a^{n-1}$ इकाई के $n$ वें मूल हैं,तो $\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{2-a^i}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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