यदि omega_1 और omega_2 दो शून्येतर सम्मिश्र स | vedclass

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Question

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शुद्ध काल्पनिक संख्या

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $|a \omega_1 + b \omega_2| = |a \omega_1 - b \omega_2|$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a \omega_1 + b \omega_2|^2 = |a \omega_1 - b \omega_2|^2$.$|z|^2 = z \bar{z}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$(a \omega_1 + b \omega_2)(a \bar{\omega}_1 + b \bar{\omega}_2) = (a \omega_1 - b \omega_2)(a \bar{\omega}_1 - b \bar{\omega}_2)$.दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $a^2 |\omega_1|^2 + ab \omega_1 \bar{\omega}_2 + ab \bar{\omega}_1 \omega_2 + b^2 |\omega_2|^2 = a^2 |\omega_1|^2 - ab \omega_1 \bar{\omega}_2 - ab \bar{\omega}_1 \omega_2 + b^2 |\omega_2|^2$.समान पदों $a^2 |\omega_1|^2$ और $b^2 |\omega_2|^2$ को हटाने पर,$2ab \omega_1 \bar{\omega}_2 + 2ab \bar{\omega}_1 \omega_2 = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $a, b 
eq 0$,इसलिए $\omega_1 \bar{\omega}_2 + \bar{\omega}_1 \omega_2 = 0$.इसका अर्थ है $\omega_1 \bar{\omega}_2 + \overline{\omega_1 \bar{\omega}_2} = 0$.मान लीजिए $z = \frac{\omega_1}{\omega_2}$. तब $\omega_1 = z \omega_2$. इसे प्रतिस्थापित करने पर,$z \omega_2 \bar{\omega}_2 + \bar{z} \bar{\omega}_2 \omega_2 = 0$.चूंकि $\omega_2 
eq 0$,इसलिए $|\omega_2|^2 
eq 0$,अतः $z + \bar{z} = 0$.इसका अर्थ है $2 	ext{Re}(z) = 0$,इसलिए $	ext{Re}(\frac{\omega_1}{\omega_2}) = 0$.अतः,$\frac{\omega_1}{\omega_2}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है।

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यदि ${z_1} = 1 + i$,${z_2} = -2 + 3i$,और ${z_3} = \frac{ai}{3}$,जहाँ ${i^2} = -1$,संरेख हैं,तो $a$ का मान है:

यदि $z=x+iy$, जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $i=\sqrt{-1}$, तो वे बिंदु $(x, y)$ जिनके लिए $\frac{z-1}{z-i}$ वास्तविक है, स्थित हैं

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