यदि $z=x+iy$, जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $i=\sqrt{-1}$, तो वे बिंदु $(x, y)$ जिनके लिए $\frac{z-1}{z-i}$ वास्तविक है, स्थित हैं

मान लीजिए $z_1$ और $z_2$ दो भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $0 < t < 1$ वाली किसी वास्तविक संख्या $t$ के लिए $z = (1-t)z_1 + tz_2$ है। यदि $\operatorname{Arg}(w)$ एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या $w$ के मुख्य कोणांक को दर्शाता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $|z-z_1| + |z-z_2| = |z_1-z_2|$
$(B)$ $\operatorname{Arg}(z-z_1) = \operatorname{Arg}(z-z_2)$
$(C)$ $\left|\begin{array}{cc} z-z_1 & \bar{z}-\bar{z}_1 \\ z_2-z_1 & \bar{z}_2-\bar{z}_1 \end{array}\right| = 0$
$(D)$ $\operatorname{Arg}(z-z_1) = \operatorname{Arg}(z_2-z_1)$

समीकरण $\arg \left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{\pi}{4}$ एक ऐसे वृत्त को दर्शाता है जिसका:

यदि $\text{Im} \left( \frac{2z + 1}{iz + 1} \right) = -3$ है,तो $z$ का बिन्दुपथ क्या है :-

एक कण $P$,बिंदु $Z_0 = 1 + 2i$ से शुरू होता है जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। यह पहले मूल बिंदु से दूर क्षैतिज रूप से $5$ इकाई और फिर धनात्मक $y$-अक्ष के समानांतर ऊर्ध्वाधर रूप से $3$ इकाई ऊपर चलकर बिंदु $Z_1$ पर पहुँचता है। $Z_1$ से,कण $\hat{i} + \hat{j}$ सदिश की दिशा में $\sqrt{2}$ इकाई चलता है और फिर मूल बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त पर वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{2}$ कोण से घूमकर बिंदु $Z_2$ पर पहुँचता है। तब $Z_2 =$

मान लीजिए कि बिंदु $P$ आर्गंड समतल में $z=x+iy$ को दर्शाता है, जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है। मान लीजिए कि वक्र $C_1$ और $C_2$, $P$ के बिंदुपथ हैं जो क्रमशः शर्तों $(i)$ $\frac{2z+i}{z-2}$ शुद्ध काल्पनिक है और $(ii)$ $\operatorname{Arg}\left(\frac{z+i}{z+1}\right)=\frac{\pi}{2}$ को संतुष्ट करते हैं। तो मूल बिंदु के अलावा वक्र $C_1$ और $C_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है