यदि |a|

Question

(B) दिया गया है कि $b = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$.हम जानते हैं कि $-\ln(1-a) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$ जहाँ $|a| < 1$ है।अतः,$b =

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$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} b^k}{k!}$

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(B) दिया गया है कि $b = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$.हम जानते हैं कि $-\ln(1-a) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$ जहाँ $|a| अतः,$b = -\ln(1-a)$.इसका अर्थ है कि $e^{-b} = 1-a$,इसलिए $a = 1 - e^{-b}$.$e^{-b}$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर: $e^{-b} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-b)^k}{k!} = 1 - b + \frac{b^2}{2!} - \frac{b^3}{3!} + \dots$.इस मान को $a$ के समीकरण में रखने पर:$a = 1 - (1 - b + \frac{b^2}{2!} - \frac{b^3}{3!} + \dots) = b - \frac{b^2}{2!} + \frac{b^3}{3!} - \dots$.इसे $a = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} b^k}{k!}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

यदि $|a| < 1$ और $b = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$ है,तो $a$ का मान क्या होगा?

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