જો cos alpha+cos beta+cos gamma=sin alpha+sin | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $x=\cos \alpha+i \sin \alpha$,$y=\cos \beta+i \sin \beta$,અને $z=\cos \gamma+i \sin \gamma$. આપેલ છે કે $x+y+z=0$,તેથી $x^3+y^3+z^3=3xyz$.

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{9}{16}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $x=\cos \alpha+i \sin \alpha$,$y=\cos \beta+i \sin \beta$,અને $z=\cos \gamma+i \sin \gamma$. આપેલ છે કે $x+y+z=0$,તેથી $x^3+y^3+z^3=3xyz$. કિંમતો મૂકતા,$(\cos \alpha+i \sin \alpha)^3+(\cos \beta+i \sin \beta)^3+(\cos \gamma+i \sin \gamma)^3 = 3(\cos \alpha+i \sin \alpha)(\cos \beta+i \sin \beta)(\cos \gamma+i \sin \gamma)$. ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\cos 3 \alpha+\cos 3 \beta+\cos 3 \gamma)+i(\sin 3 \alpha+\sin 3 \beta+\sin 3 \gamma) = 3 \cos (\alpha+\beta+\gamma)+3 i \sin (\alpha+\beta+\gamma)$. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $\cos 3 \alpha+\cos 3 \beta+\cos 3 \gamma=3 \cos (\alpha+\beta+\gamma)$ અને $\sin 3 \alpha+\sin 3 \beta+\sin 3 \gamma=3 \sin (\alpha+\beta+\gamma)$. $\cos 3	heta = 4\cos^3	heta - 3\cos	heta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$4(\cos^3\alpha+\cos^3\beta+\cos^3\gamma) - 3(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma) = 3\cos(\alpha+\beta+\gamma)$. $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0$ હોવાથી,$\cos^3\alpha+\cos^3\beta+\cos^3\gamma = \frac{3}{4}\cos(\alpha+\beta+\gamma)$. તે જ રીતે,$\sin 3	heta = 3\sin	heta - 4\sin^3	heta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^3\alpha+\sin^3\beta+\sin^3\gamma = -\frac{3}{4}\sin(\alpha+\beta+\gamma)$. અંતે,પદાવલિ $\left(\frac{3}{4}\cos(\alpha+\beta+\gamma)ight)^2 + \left(-\frac{3}{4}\sin(\alpha+\beta+\gamma)ight)^2 = \frac{9}{16}(\cos^2(\alpha+\beta+\gamma) + \sin^2(\alpha+\beta+\gamma)) = \frac{9}{16}$ થાય છે.

જો $\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma=\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma=0$ હોય,તો $\left(\cos ^3 \alpha+\cos ^3 \beta+\cos ^3 \gamma\right)^2+\left(\sin ^3 \alpha+\sin ^3 \beta+\sin ^3 \gamma\right)^2=$

Similar Questions

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $n \in \mathbb{R}$ માટે,$(\cosh x + \sinh x)^n =$

જો $z=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$ હોય,તો $\left(z^{101}+i^{103}\right)^{105}=$

જો $i$ એ સમીકરણ $x^2+1=0$ નું બીજ હોય,તો $(1+\sqrt{3}i)^{2023}+(1-\sqrt{3}i)^{2023}=$

જો $n$ એક ધન પૂર્ણાંક હોય, તો $(1 + i\sqrt{3})^{2n} + (1 - i\sqrt{3})^{2n}$ ની કિંમત ......... છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module