જો $ax^4+bx^3+cx^2+50x+d = \begin{vmatrix} x^3-14x^2 & -x & 3x+\lambda \\ 4x+1 & 3x & x-4 \\ -3 & 4 & 0 \end{vmatrix}$ હોય,તો $\lambda$ શોધો.

જો શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & \beta \\ -b & \alpha & 0 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક તમામ $a, b$ માટે શૂન્ય હોય, તો $\alpha + \beta =$

જો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ હોય અને શિરોબિંદુઓ $(k, 0), (4, 0), (0, 2)$ હોય,તો $k$ ની કિંમતો શોધો.

$(a, b)$,$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો,જ્યાં $a, x_1, x_2$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે $G.P.$ માં છે અને $b, y_1, y_2$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $s$ સાથે $G.P.$ માં છે.

ધારો કે $S$ એ $\theta \in [-\pi, \pi]$ ના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ
$x + y + \sqrt{3} z = 0$
$-x + (\tan \theta) y + \sqrt{7} z = 0$
$x + y + (\tan \theta) z = 0$
નો શૂન્યેતર ઉકેલ મળે છે. તો $\frac{120}{\pi} \sum_{\theta \in S} \theta$ નું મૂલ્ય શોધો.

બહુપદી $\left|\begin{array}{ccc}x+3 & x & x+2 \\ x & x+1 & x-1 \\ x+2 & 2x & 3x+1\end{array}\right|$ નું અચળ પદ શોધો.