જો $A = \begin{bmatrix} 83 & 74 & 41 \\ 93 & 96 & 31 \\ 24 & 15 & 79 \end{bmatrix}$ હોય,તો $\det(A - A^{T}) = $

ધારો કે $S = \{ m \in \mathbb{Z} : A^{m^2} + A^m = 3I - A^{-6} \}$,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$. તો $n(S)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\Delta _1 = \left| \begin{array}{ccc} b^5c^6(c^3 - b^3) & a^4c^6(a^3 - c^3) & a^4b^5(b^3 - a^3) \\ b^2c^3(b^6 - c^6) & ac^3(c^6 - a^6) & ab^2(a^6 - b^6) \\ b^2c^3(c^3 - b^3) & ac^3(a^3 - c^3) & ab^2(b^3 - a^3) \end{array} \right|$ અને $\Delta _2 = \left| \begin{array}{ccc} a & b^2 & c^3 \\ a^4 & b^5 & c^6 \\ a^7 & b^8 & c^9 \end{array} \right|$ હોય,તો $\Delta _1 \Delta _2$ ની કિંમત શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix}$ અને $\det\left(A^{2} - \frac{1}{2} I\right) = 0$ હોય,તો $\alpha$ ની એક શક્ય કિંમત શોધો.

ધારો કે $M$ અને $N$ એ $\mathbb{R}$ પર $2$ કક્ષાના બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે,જ્યાં $N$ વિકર્ણ શ્રેણિક છે. તો $M N M^{-1}$ વિકર્ણ શ્રેણિક ક્યારે હોય . . . . . .

ધારો કે $P$ એ એક ચોરસ શ્રેણિક છે જેથી $P^2 = I - P$ થાય. $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in N$ માટે,જો $P^\alpha + P^\beta = \gamma I - 29 P$ અને $P^\alpha - P^\beta = \delta I - 13 P$ હોય,તો $\alpha + \beta + \gamma - \delta$ ની કિંમત $........$ થાય.