यदि A = {x in R : sin^{-1}(sqrt{x^2+x+1}) in | vedclass

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Question

(C) के लिए,$\sin^{-1}(u)$ का डोमेन $u \in [-1, 1]$ है। चूंकि $\sqrt{x^2+x+1} \ge 0$,हमें $0 \le x^2+x+1 \le 1$ की आवश्यकता है। $x^2+x+1 \ge 0$ को हल क

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$A^{C} \cap B = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$

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(C) के लिए,$\sin^{-1}(u)$ का डोमेन $u \in [-1, 1]$ है। चूंकि $\sqrt{x^2+x+1} \ge 0$,हमें $0 \le x^2+x+1 \le 1$ की आवश्यकता है। $x^2+x+1 \ge 0$ को हल करने पर: विविक्तकर $D = 1-4 = -3  0$ है। $x^2+x+1 \le 1$ को हल करने पर: $x^2+x \le 0 \implies x(x+1) \le 0$,इसलिए $x \in [-1, 0]$। अतः,$A = [-1, 0]$। $B$ के लिए,$x \in [-1, 0]$ के लिए $y = \sin^{-1}(\sqrt{x^2+x+1})$ का परिसर ज्ञात करते हैं। माना $f(x) = x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$। $x \in [-1, 0]$ के लिए,$f(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ ($x = -1/2$ पर) और अधिकतम मान $1$ ($x = -1$ या $x = 0$ पर) है। अतः,$\sqrt{x^2+x+1} \in [\sqrt{3}/2, 1]$। तब $y = \sin^{-1}(\sqrt{x^2+x+1}) \in [\sin^{-1}(\sqrt{3}/2), \sin^{-1}(1)] = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$। इसलिए $B = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$। विकल्पों की जाँच करने पर: $A = [-1, 0]$ और $B = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$। $A \cap B = \phi$ (रिक्त समुच्चय)। $A \cap B^C = A \setminus B = [-1, 0] \setminus [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}] = [-1, 0]$। $A^C \cap B = B \setminus A = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}] \setminus [-1, 0] = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$। इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

यदि $A = \{x \in R : \sin^{-1}(\sqrt{x^2+x+1}) \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\}$ और $B = \{y \in R : y = \sin^{-1}(\sqrt{x^2+x+1}), x \in A\}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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