यदि tanh^{-1}(x+iy) = frac{1}{2} tanh^{-1}lef | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि प्रतिलोम अतिपरवलयिक स्पर्शज्या (inverse hyperbolic tangent) और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय स्पर्शज्या (inverse trigonometric tangent) फल

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$i 	an^{-1}(y)$

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(C) हम जानते हैं कि प्रतिलोम अतिपरवलयिक स्पर्शज्या (inverse hyperbolic tangent) और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय स्पर्शज्या (inverse trigonometric tangent) फलन के बीच संबंध है: $	anh^{-1}(z) = \frac{1}{i} 	an^{-1}(iz)$।$	anh^{-1}(iy)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र में $z = iy$ प्रतिस्थापित करते हैं:$	anh^{-1}(iy) = \frac{1}{i} 	an^{-1}(i(iy))$चूंकि $i^2 = -1$,यह सरल होकर प्राप्त होता है:$	anh^{-1}(iy) = \frac{1}{i} 	an^{-1}(-y)$गुणधर्म $	an^{-1}(-y) = -	an^{-1}(y)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$	anh^{-1}(iy) = \frac{1}{i} (-	an^{-1}(y)) = -\frac{1}{i} 	an^{-1}(y)$चूंकि $\frac{1}{i} = -i$,इसलिए $-\frac{1}{i} = i$ होता है।अतः,$	anh^{-1}(iy) = i 	an^{-1}(y)$।इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

यदि $\tanh^{-1}(x+iy) = \frac{1}{2} \tanh^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2+y^2}\right) + \frac{i}{2} \tan^{-1}\left(\frac{2y}{1-x^2-y^2}\right)$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$,तो $\tanh^{-1}(iy) =$

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