यदि sum_{k=1}^n tan^{-1} left( frac{1}{k^2+k+ | vedclass

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Question

(A) दिया गया व्यंजक: $\sum_{k=1}^n 	an^{-1} \left( \frac{1}{k^2+k+1} ight) = 	an^{-1} 	heta$. हम जानते हैं कि $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{

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$\frac{n}{n+2}$

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(A) दिया गया व्यंजक: $\sum_{k=1}^n 	an^{-1} \left( \frac{1}{k^2+k+1} ight) = 	an^{-1} 	heta$. हम जानते हैं कि $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} ight)$. हम योग के अंदर के पद को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{1}{1+k(k+1)} = \frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}$. अतः,$	an^{-1} \left( \frac{1}{k^2+k+1} ight) = 	an^{-1} (k+1) - 	an^{-1} k$. अब,यह योग एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला बन जाता है: $\sum_{k=1}^n (	an^{-1} (k+1) - 	an^{-1} k) = (	an^{-1} 2 - 	an^{-1} 1) + (	an^{-1} 3 - 	an^{-1} 2) + \dots + (	an^{-1} (n+1) - 	an^{-1} n)$. मध्यवर्ती पदों को काटने के बाद,हमें प्राप्त होता है: $	an^{-1} (n+1) - 	an^{-1} 1 = 	an^{-1} 	heta$. सूत्र $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} ight)$ का उपयोग करने पर: $	an^{-1} \left( \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} ight) = 	an^{-1} 	heta$. $	an^{-1} \left( \frac{n}{n+2} ight) = 	an^{-1} 	heta$. अतः,$	heta = \frac{n}{n+2}$.

यदि $\sum_{k=1}^n \tan^{-1} \left( \frac{1}{k^2+k+1} \right) = \tan^{-1} ( \theta )$ है,तो $\theta =$

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यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $3x^2 - 16x + 5 = 0$ के मूल हैं,तो $\tan^{-1} \alpha + \tan^{-1} \beta - \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right) = $

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