यदि alpha और beta इस प्रकार हैं कि फलन f(x) = | vedclass

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Question

(C) $f(x)$ के हर जगह अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ और $x = -1$ पर सतत और अवकलनीय होना चाहिए। चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,हम $x = 1$ पर जांच करते हैं।$

Vedclass · Accepted Answer

$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Vedclass · Answer

(C) $f(x)$ के हर जगह अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ और $x = -1$ पर सतत और अवकलनीय होना चाहिए। चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,हम $x = 1$ पर जांच करते हैं।$x = 1$ पर सांतत्य: $\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} f(x) = f(1)$.$\lim_{x 	o 1^-} (\alpha x^2 - \beta) = \alpha - \beta$.$\lim_{x 	o 1^+} (-\frac{1}{x}) = -1$.अतः,$\alpha - \beta = -1$ (समीकरण $1$)।$x = 1$ पर अवकलनीयता: $f'(1^-) = f'(1^+)$.$|x|  1$ के लिए $f'(x) = \frac{1}{x^2}$।$f'(1^-) = 2\alpha(1) = 2\alpha$.$f'(1^+) = \frac{1}{(1)^2} = 1$.इस प्रकार,$2\alpha = 1 \implies \alpha = \frac{1}{2}$।समीकरण $1$ में $\alpha = \frac{1}{2}$ रखने पर: $\frac{1}{2} - \beta = -1 \implies \beta = \frac{3}{2}$।अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ है।

यदि $\alpha$ और $\beta$ इस प्रकार हैं कि फलन $f(x) = \begin{cases} \alpha x^2 - \beta, & |x| < 1 \\ \frac{-1}{|x|}, & |x| \ge 1 \end{cases}$ हर जगह अवकलनीय है,तो क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) =$

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$f(x) = ||x| - 1|$ किस बिंदु पर अवकलनीय (differentiable) नहीं है?

फलन $g(x) = \begin{cases} x + b, & x < 0 \\ \cos x, & x \geqslant 0 \end{cases}$ को $x = 0$ पर अवकलनीय बनाया जा सकता है।

$\text{फलन } f(x) = \begin{cases} \tan^{-1} x, & \text{यदि } |x| \le 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & \text{यदि } |x| > 1 \end{cases} \text{ के अवकलज का प्रांत क्या है?}$

मान लीजिए $f(x)=a_0+a_1|x|+a_2|x|^2+a_3|x|^3$, जहाँ $a_0, a_1, a_2, a_3$ वास्तविक स्थिरांक हैं। तो $f(x)$, $x=0$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि:

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