यदि g फलन f(x) का प्रतिलोम है और g(x) = x + t | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(g(x)) = x$ होगा। श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष

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$\frac{1}{1 + \sec^2 f(x)}$

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(B) दिया गया है कि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(g(x)) = x$ होगा। श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{g^{\prime}(x)}$। दिया गया है $g(x) = x + 	an x$,इसलिए $g^{\prime}(x) = 1 + \sec^2 x$ होगा। इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1 + \sec^2 x}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $y = g(x)$,तो $x = f(y)$ होगा। $x = f(y)$ का मान समीकरण में रखने पर,$f^{\prime}(y) = \frac{1}{1 + \sec^2(f(y))}$ प्राप्त होता है। $y$ को $x$ से बदलने पर,हमें $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1 + \sec^2(f(x))}$ प्राप्त होता है।

यदि $g$ फलन $f(x)$ का प्रतिलोम है और $g(x) = x + \tan x$ है,तो $f^{\prime}(x) = $

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मान लीजिए $g$,$f$ का प्रतिलोम फलन (inverse function) है और $f'(x) = \frac{x^{10}}{1 + x^2}$ है। यदि $g(2) = a$ है,तो $g'(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि $f: X \rightarrow Y$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है। दर्शाइए कि $f^{-1}$ का व्युत्क्रम $f$ है,अर्थात $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ है।

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=x^{3}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f^{-1}(8)$ का मान क्या होगा?

$a$ के कितने पूर्णांक मानों के लिए फलन $f: R \to R, f(x) = 2x^3 - 3(a + 2)x^2 + 12ax - 7$ जहाँ $a \in [-4, 6]$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है?

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