यदि f(x) = x e^{x(1-x)}, x in R है,तो f(x) है | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x e^{x-x^2}$.वर्धमान या ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उप

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$\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ पर वर्धमान

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(A) दिया गया है $f(x) = x e^{x-x^2}$.वर्धमान या ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:$f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)]$$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$$f'(x) = e^{x-x^2} [-(2x^2 - x - 1)]$$f'(x) = -e^{x-x^2} (2x+1)(x-1)$$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \ge 0$ होना चाहिए।चूंकि $e^{x-x^2} > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,हमें $-(2x+1)(x-1) \ge 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $(2x+1)(x-1) \le 0$।मूल $x = -\frac{1}{2}$ और $x = 1$ हैं।यह असमिका $x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ के लिए सत्य है।अतः,$f(x)$,$\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ पर वर्धमान है।

यदि $f(x) = x e^{x(1-x)}, x \in R$ है,तो $f(x)$ है

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