यदि f''(x) सभी x in R के लिए एक धनात्मक फलन ह | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f''(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ सभी $x \in R$ के लिए एक निरंतर वर्धमान फलन है।चूंकि $f'(3) = 0$,इसलिए $x

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$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $f''(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ सभी $x \in R$ के लिए एक निरंतर वर्धमान फलन है।चूंकि $f'(3) = 0$,इसलिए $x  3$ के लिए $f'(x) > 0$ है।अब,$g(x) = f(	an^2 x - 2 	an x + 4)$ पर विचार करें।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$g'(x) = f'(	an^2 x - 2 	an x + 4) \cdot \frac{d}{dx}(	an^2 x - 2 	an x + 4)$ प्राप्त होता है।$g'(x) = f'(	an^2 x - 2 	an x + 4) \cdot (2 	an x \sec^2 x - 2 \sec^2 x) = f'(	an^2 x - 2 	an x + 4) \cdot 2 \sec^2 x (	an x - 1)$।माना $u = 	an^2 x - 2 	an x + 4 = (	an x - 1)^2 + 3$ है। चूंकि $(	an x - 1)^2 \ge 0$,इसलिए $u \ge 3$ है।$u > 3$ के लिए,हम जानते हैं कि $f'(u) > 0$ क्योंकि $f'(x)$ वर्धमान फलन है और $f'(3) = 0$ है।$g(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $g'(x) > 0$ की आवश्यकता है।चूंकि $f'(u) > 0$ और $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $2 \sec^2 x > 0$ है,इसलिए $g'(x)$ का चिह्न $(	an x - 1)$ पर निर्भर करता है।अतः,$g'(x) > 0$ तब होता है जब $	an x - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $	an x > 1$।$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$	an x > 1$ का अर्थ है $x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$।

यदि $f''(x)$ सभी $x \in R$ के लिए एक धनात्मक फलन है,$f'(3) = 0$ और $0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए $g(x) = f(\tan^2 x - 2 \tan x + 4)$ है,तो वह अंतराल जिसमें $g(x)$ वर्धमान है,है

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फलन $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$ किस अंतराल पर वर्धमान है?

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