माना f(x) = int_{x^2}^{x^2+1} e^{-t^2} dt,x i | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{x^2}^{x^2+1} e^{-t^2} dt$। न्यूटन-लेबनीज नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = e^{-(x^2+1)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) - e^{

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$(-\infty, 0]$

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(A) दिया गया है $f(x) = \int_{x^2}^{x^2+1} e^{-t^2} dt$। न्यूटन-लेबनीज नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = e^{-(x^2+1)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) - e^{-(x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$ $f'(x) = e^{-(x^2+1)^2} \cdot (2x) - e^{-x^4} \cdot (2x)$ $f'(x) = 2x \left( e^{-(x^4+2x^2+1)} - e^{-x^4} ight)$ $f'(x) = 2x \cdot e^{-x^4} \left( e^{-(2x^2+1)} - 1 ight)$ चूंकि $e^{-x^4} > 0$ सभी $x$ के लिए है,और $e^{-(2x^2+1)}  0$),इसलिए $(e^{-(2x^2+1)} - 1)$ हमेशा ऋणात्मक है। $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए। $2x \cdot (	ext{ऋणात्मक मान}) \geq 0 \implies x \leq 0$। अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, 0]$ में एक वर्धमान फलन है।

माना $f(x) = \int_{x^2}^{x^2+1} e^{-t^2} dt$,$x \in (-\infty, \infty)$ के लिए। किस अंतराल के लिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है?

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फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$ अंतराल ..... में एक वर्धमान फलन है।

फलन $f(x) = \frac{x}{\log_x e}$ अंतराल . . . . . . पर वर्धमान है,जहाँ $x \in \mathbb{R}^+ - \{1\}$ है।

निम्नलिखित में से किस अंतराल में फलन $f(x)=x^{100}+\sin x-1$ ह्रासमान (decreasing) है?

फलन $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+29$ किस अंतराल में एकदिष्ट वर्धमान है?

$x \in [1, 3]$ के प्रत्येक मान के लिए,फलन $f(x) = \frac{1}{8^x}$ है

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