यदि f(x) = x^alpha log x और f(0) = 0 है,तो al | vedclass

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Question

(D) $[0, 1]$ अंतराल पर रोले का प्रमेय लागू करने के लिए,फलन $f(x)$ को तीन शर्तों को पूरा करना चाहिए: $1$. $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत होना चाहिए। $2$. $f

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$1/2$

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(D) $[0, 1]$ अंतराल पर रोले का प्रमेय लागू करने के लिए,फलन $f(x)$ को तीन शर्तों को पूरा करना चाहिए: $1$. $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत होना चाहिए। $2$. $f(x)$ को $(0, 1)$ पर अवकलनीय होना चाहिए। $3$. $f(0) = f(1)$ होना चाहिए। यहाँ $f(x) = x^\alpha \log x$ और $f(0) = 0$ दिया गया है। सबसे पहले $f(0) = f(1)$ शर्त की जाँच करें: $f(1) = 1^\alpha \log(1) = 1 	imes 0 = 0$। चूँकि $f(0) = 0$ है,इसलिए $f(0) = f(1)$ शर्त किसी भी $\alpha$ के लिए संतुष्ट होती है। अब $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करें: $\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} x^\alpha \log x = 0$। यह सीमा मौजूद है और $0$ के बराबर है यदि $\alpha > 0$ हो। एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए: $\lim_{x 	o 0^+} \frac{\log x}{x^{-\alpha}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{1/x}{-\alpha x^{-\alpha-1}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{x^\alpha}{-\alpha} = 0$ (जब $\alpha > 0$ हो)। दिए गए विकल्पों में से,$\alpha = 1/2$ ही एकमात्र मान है जो $0$ से बड़ा है।

यदि $f(x) = x^\alpha \log x$ और $f(0) = 0$ है,तो $\alpha$ का वह मान जिसके लिए $[0, 1]$ में रोले का प्रमेय लागू किया जा सकता है,है

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यदि $c = \frac{1}{2}$ और $f(x) = 2x - x^2$ है,तो $x$ का वह अंतराल $(a, b)$ जिसमें $f(x)$ के लिए लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू होता है,क्या है?

फलन $f(x) = x(x + 3)e^{-(1/2)x}$,$[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है। $c$ का मान है

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