यदि int f(x) dx = psi(x) है,तो int x^5 f(x^3) | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\int f(x) dx = \psi(x)$.माना $I = \int x^5 f(x^3) dx = \int x^3 f(x^3) x^2 dx$.$t = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 3x^2 dx$ प्राप

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$\frac{1}{3}[x^3 \psi(x^3)] - \int x^2 \psi(x^3) dx$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $\int f(x) dx = \psi(x)$.माना $I = \int x^5 f(x^3) dx = \int x^3 f(x^3) x^2 dx$.$t = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 3x^2 dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int t f(t) \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int t f(t) dt$ प्राप्त होता है।खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,जहाँ $u = t$ और $dv = f(t) dt$ (अतः $du = dt$ और $v = \psi(t)$):$I = \frac{1}{3} [t \psi(t) - \int \psi(t) dt]$.अब,$t = x^3$ वापस रखने पर:$I = \frac{1}{3} [x^3 \psi(x^3) - \int \psi(x^3) (3x^2 dx)]$.$I = \frac{1}{3} x^3 \psi(x^3) - \int x^2 \psi(x^3) dx$.

यदि $\int f(x) dx = \psi(x)$ है,तो $\int x^5 f(x^3) dx = $

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यदि $\int {x^5 e^{-x^2} dx} = g(x) e^{-x^2} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $g(-1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int {x\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)dx} \,\left( {x > 0} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$I_{m, n} = \int x^m (\log x)^n \, dx =$

$\int x^3(\log x)^2 \, dx = $

$\int \sin^{-1} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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