int x^3(log x)^2 , dx = | vedclass

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Question

(C) खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. माना $u = (\log x)^2$ और $dv = x^3 \, dx$. तब $du = 2(\l

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$(\log x)^2 \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2} \left[ (\log x) \frac{x^4}{4} - \frac{x^4}{16} \right] + C$

Vedclass · Answer

(C) खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. माना $u = (\log x)^2$ और $dv = x^3 \, dx$. तब $du = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^4}{4}$ प्राप्त होता है। $I = \int x^3(\log x)^2 \, dx = (\log x)^2 \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{x^4}{4} \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ $I = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} \int x^3 \log x \, dx$ अब,$\int x^3 \log x \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: माना $u = \log x$ और $dv = x^3 \, dx$. तब $du = \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^4}{4}$ प्राप्त होता है। $\int x^3 \log x \, dx = \frac{x^4}{4} \log x - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}$. इस मान को वापस रखने पर: $I = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} \right] + C$.

$\int x^3(\log x)^2 \, dx = $

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$\int x^2 \cos x \, dx =$

मान लीजिए $I = \int \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right) dx$,तो $I - 2x \tan^{-1} x = $

$\int x \sec^2 x \, dx = $

यदि रैखिक फलन $f(x)$ और $g(x)$ समीकरण $\int[(3x-1) \cos x + (1-2x) \sin x] dx = f(x) \cos x + g(x) \sin x + C$ को संतुष्ट करते हैं,तो:

यदि $f(x)=1+x$ और $g(x)=\log x$ है,तो $\int g(f(x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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