જો I_n=int(cos ^n x+sin ^n x) d x અને I_n-fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $I_n = \int (\cos^n x + \sin^n x) dx$.આપણે $I_n = \int \cos^{n-1} x \cos x dx + \int \sin^{n-1} x \sin x dx$ લખી શકીએ.બંને સંકલન માટે ખંડશ

Vedclass · Accepted Answer

$\cos ^{n-2} x-\sin ^{n-2} x$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $I_n = \int (\cos^n x + \sin^n x) dx$.આપણે $I_n = \int \cos^{n-1} x \cos x dx + \int \sin^{n-1} x \sin x dx$ લખી શકીએ.બંને સંકલન માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$\int \cos^{n-1} x \cos x dx$ માટે: $u = \cos^{n-1} x$,$dv = \cos x dx$ લો. તો $du = (n-1) \cos^{n-2} x (-\sin x) dx$,$v = \sin x$.$\int \cos^{n-1} x \cos x dx = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x dx$.$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ હોવાથી,આ $\cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1 - \cos^2 x) dx = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$ બને છે.તે જ રીતે,$\int \sin^{n-1} x \sin x dx$ માટે: $u = \sin^{n-1} x$,$dv = \sin x dx$ લો. તો $du = (n-1) \sin^{n-2} x \cos x dx$,$v = -\cos x$.$\int \sin^{n-1} x \sin x dx = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x dx = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) dx = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$.આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $I_n = \frac{\cos^{n-1} x \sin x - \sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}$.તેથી $I_n - \frac{n-1}{n} I_{n-2} = \frac{\cos^{n-1} x \sin x - \sin^{n-1} x \cos x}{n} = \frac{\sin x \cos x}{n} (\cos^{n-2} x - \sin^{n-2} x)$.આમ,$f(x) = \cos^{n-2} x - \sin^{n-2} x$.

જો $I_n=\int(\cos ^n x+\sin ^n x) d x$ અને $I_n-\frac{n-1}{n} I_{n-2}=\frac{\sin x \cos x}{n} f(x)$ હોય,તો $f(x)=$

Similar Questions

જો $\int \frac{1}{\sqrt[5]{(x-1)^4(x+3)^6}} dx = A\left(\frac{\alpha x-1}{\beta x+3}\right)^B + C,$ જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે,તો $\alpha + \beta + 20AB$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \int {\left( {\frac{{{x^2} + {{\sin }^2}x}}{{1 + {x^2}}}} \right)} {\sec ^2}x\,dx$ અને $f(0) = 0$ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} d x=A(x)(x+1)^{\frac{3}{2}}+B(x)(x-1)^{\frac{3}{2}}+C$ હોય,તો $A(x)+B(x)=$

જો $\int\left(\frac{4 e^x-25}{2 e^x-5}\right) d x=A x+B \log \left(2 e^x-5\right)+c$ (જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે),તો:

$\int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module