જો $A_n = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} \cos^n x \, dx$ હોય,તો $\frac{A_4 - A_6}{A_4} = $

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = a \sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$,$a \in R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. જો $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય,તો $\int_{0}^{4} f(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી તેનું વિકલિત $f^{\prime}$ સતત છે અને $f(\pi)=-6$ છે. જો $F:[0, \pi] \rightarrow R$ એ $F(x)=\int_0^{ x } f( t ) dt$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,અને જો $\int_0^\pi\left(f^{\prime}( x )+ F ( x )\right) \cos x dx =2$ હોય,તો $f(0)$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{1} 9x^8 dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

એક બહુપદી વિધેય $f(x)$ જે શરતો $f(x) = [f'(x)]^2$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ નું પાલન કરે છે,તે હોઈ શકે:

$\int_{0}^{2} ( |2x^2 - 3x| + [x - \frac{1}{2}] ) dx$,જ્યાં $[ \cdot ]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તેની કિંમત શોધો.