यदि b a है,तो int_a^b frac{dx}{sqrt{(x-a)(b | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$.हर का विस्तार करने पर: $(x-a)(b-x) = -x^2 + (a+b)x - ab$.पूर्ण वर्ग बनाने पर: $-[x^2 - (a+b)x + a

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$\pi$

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(D) माना $I = \int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$.हर का विस्तार करने पर: $(x-a)(b-x) = -x^2 + (a+b)x - ab$.पूर्ण वर्ग बनाने पर: $-[x^2 - (a+b)x + ab] = -[x^2 - (a+b)x + (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a+b}{2})^2 + ab] = -[(x - \frac{a+b}{2})^2 - (\frac{b-a}{2})^2] = (\frac{b-a}{2})^2 - (x - \frac{a+b}{2})^2$.अतः,$I = \int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(\frac{b-a}{2})^2 - (x - \frac{a+b}{2})^2}}$.मानक समाकलन $\int \frac{dx}{\sqrt{A^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{A}) + C$ का उपयोग करने पर:$I = [\sin^{-1}(\frac{x - \frac{a+b}{2}}{\frac{b-a}{2}})]_a^b$.सीमाओं का मान रखने पर:ऊपरी सीमा $(x=b)$: $\sin^{-1}(\frac{b - \frac{a+b}{2}}{\frac{b-a}{2}}) = \sin^{-1}(\frac{\frac{b-a}{2}}{\frac{b-a}{2}}) = \sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$.निचली सीमा $(x=a)$: $\sin^{-1}(\frac{a - \frac{a+b}{2}}{\frac{b-a}{2}}) = \sin^{-1}(\frac{\frac{a-b}{2}}{\frac{b-a}{2}}) = \sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2}$.इसलिए,$I = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$.

यदि $b > a$ है,तो $\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$ का मान क्या होगा?

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यदि $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{3+x}+\sqrt{1+x}} d x=a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}$,जहाँ $a, b, c$ परिमेय संख्याएँ हैं,तो $2 a+3 b-4 c$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x \, dx =$

$\int \limits_0^1 \cos (\pi x) \cos ([2 x] \pi) d x$ का मान क्या है? (यहाँ $[t]$ वास्तविक संख्या $t$ के महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।)

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{a} \sqrt{\frac{x}{a-x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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