यदि S_n = int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin((2n-1) | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $S_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$. तब $S_{n+1} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)x)}{\sin x} dx$. अब,अंतर पर विचा

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(C) दिया गया है $S_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$. तब $S_{n+1} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)x)}{\sin x} dx$. अब,अंतर पर विचार करें: $S_{n+1} - S_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$. त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर: $\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) = 2 \cos(2nx) \sin(x)$. इस मान को समाकलन में रखने पर: $S_{n+1} - S_n = \int_0^{\pi/2} \frac{2 \cos(2nx) \sin x}{\sin x} dx = \int_0^{\pi/2} 2 \cos(2nx) dx$. समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $S_{n+1} - S_n = [\frac{2 \sin(2nx)}{2n}]_0^{\pi/2} = [\frac{\sin(2nx)}{n}]_0^{\pi/2}$. सीमाओं को रखने पर: $S_{n+1} - S_n = \frac{\sin(n\pi) - \sin(0)}{n} = \frac{0 - 0}{n} = 0$,क्योंकि $n$ एक पूर्णांक है।

यदि $S_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ और $n$ एक पूर्णांक है,तो $S_{n+1} - S_n =$

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$\int_{-1}^{3} \left( \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^2+1}{x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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