જો $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$ અને $\overrightarrow{BC} = 6\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બે બાજુઓ પરના સદિશો હોય,તો ત્રિકોણ $ABC$ ની પરિમિતિ શોધો.

બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ છે. જો બિંદુ $C$ નો સ્થાન સદિશ $\frac{\vec{a}}{2} + \frac{\vec{b}}{3}$ હોય, તો:

$L$ અને $M$ એ બે બિંદુઓ છે જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $2 \vec{a}-\vec{b}$ અને $\vec{a}+2 \vec{b}$ છે. બિંદુ $N$ નો સ્થાન સદિશ શોધો જે રેખાખંડ $LM$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.

જો $|\overline{a}|=2, |\overline{b}|=3, |\overline{c}|=5$ હોય અને સદિશો $\overline{a}$ અને $\overline{b}$,$\overline{b}$ અને $\overline{c}$,તથા $\overline{c}$ અને $\overline{a}$ વચ્ચેનો દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ હોય,તો $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $a + 2b$ હોય અને બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોય,જ્યાં $P$ નો સ્થાન સદિશ $a$ હોય,તો $B$ નો સ્થાન સદિશ શોધો.

ધારો કે સદિશ $\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}$ એ સદિશ $\sqrt{3} \hat{i}+\hat{j}$ ને ઉગમબિંદુની આસપાસ પ્રથમ ચરણમાં ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે. તો શિરોબિંદુઓ $(\alpha, \beta), (0, \beta)$ અને $(0,0)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?