यदि A, B, C और D समतल में चार बिंदु इस प्रकार | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं। दिया गया है कि $|\vec{b}-\vec{a}|^2 + |\vec{d}-\

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(B) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं। दिया गया है कि $|\vec{b}-\vec{a}|^2 + |\vec{d}-\vec{c}|^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 + |\vec{a}-\vec{d}|^2$. डॉट प्रोडक्ट के गुण $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2\vec{x} \cdot \vec{y}$ का उपयोग करके वर्गों का विस्तार करने पर: $|\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{d}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{c}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{a}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2\vec{d} \cdot \vec{a}$. दोनों पक्षों से समान पदों $|\vec{a}|^2, |\vec{b}|^2, |\vec{c}|^2, |\vec{d}|^2$ को हटाने पर: $-2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{c} \cdot \vec{d} = -2\vec{b} \cdot \vec{c} - 2\vec{d} \cdot \vec{a}$. पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{a} = 0$. व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(\vec{a}-\vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{d}) = 0$. इसका अर्थ है कि $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$.

यदि $A, B, C$ और $D$ समतल में चार बिंदु इस प्रकार हैं कि $|AB|^2+|CD|^2=|BC|^2+|DA|^2=100$,तो $AC \cdot BD=$

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