यदि a(alpha times beta)+b(beta times gamma)+c | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $a(\alpha 	imes \beta)+b(\beta 	imes \gamma)+c(\gamma 	imes \alpha)=0$. पूरे समीकरण का सदिश $\gamma$ के साथ अदिश गुणनफल लेने प

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समतलीय

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(C) दिया गया समीकरण: $a(\alpha 	imes \beta)+b(\beta 	imes \gamma)+c(\gamma 	imes \alpha)=0$. पूरे समीकरण का सदिश $\gamma$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर: $a(\alpha 	imes \beta) \cdot \gamma + b(\beta 	imes \gamma) \cdot \gamma + c(\gamma 	imes \alpha) \cdot \gamma = 0$. चूंकि दोहराए गए घटकों वाले सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,इसलिए $(\beta 	imes \gamma) \cdot \gamma = 0$ और $(\gamma 	imes \alpha) \cdot \gamma = 0$ है। यह समीकरण $a(\alpha 	imes \beta) \cdot \gamma = 0$ में सरल हो जाता है,जो $a[\alpha \beta \gamma] = 0$ है। इसी प्रकार,$\alpha$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर $b[\beta \gamma \alpha] = 0$ प्राप्त होता है,और $\beta$ के साथ लेने पर $c[\gamma \alpha \beta] = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $a, b, c$ में से कम से कम एक अशून्य है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\alpha \beta \gamma]$ शून्य होना चाहिए। अतः,सदिश $\alpha, \beta, \gamma$ समतलीय हैं।

यदि $a(\alpha \times \beta)+b(\beta \times \gamma)+c(\gamma \times \alpha)=0$ और अदिश $a, b, c$ में से कम से कम एक अशून्य है,तो सदिश $\alpha, \beta, \gamma$ हैं

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