यदि e^{ix} समीकरण z^n+p_1 z^{n-1}+p_2 z^{n-2} | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $z = e^{ix} = \cos x + i \sin x$ बहुपद समीकरण $z^n + p_1 z^{n-1} + \ldots + p_n = 0$ का एक हल है,जहाँ गुणांक $p_i$ वास्तविक हैं। चू

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(C) दिया गया है कि $z = e^{ix} = \cos x + i \sin x$ बहुपद समीकरण $z^n + p_1 z^{n-1} + \ldots + p_n = 0$ का एक हल है,जहाँ गुणांक $p_i$ वास्तविक हैं। चूँकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए इसका सम्मिश्र संयुग्मी $z = e^{-ix} = \cos x - i \sin x$ भी समीकरण का एक हल होगा। $z = e^{ix}$ को समीकरण में रखने पर: $(e^{ix})^n + p_1 (e^{ix})^{n-1} + \ldots + p_{n-1} e^{ix} + p_n = 0$. यूलर के सूत्र $e^{ikx} = \cos kx + i \sin kx$ का उपयोग करने पर: $(\cos nx + i \sin nx) + p_1(\cos(n-1)x + i \sin(n-1)x) + \ldots + p_{n-1}(\cos x + i \sin x) + p_n = 0$. काल्पनिक भाग को शून्य के बराबर करने पर: $\sin nx + p_1 \sin(n-1)x + \ldots + p_{n-1} \sin x = 0$.

यदि $e^{ix}$ समीकरण $z^n+p_1 z^{n-1}+p_2 z^{n-2}+\ldots+p_n=0$ का एक हल है,जहाँ $p_i$ वास्तविक हैं $(i=1, 2, \ldots, n)$,तो $p_n \sin nx + p_{n-1} \sin(n-1)x + \ldots + p_1 \sin x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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