मान लीजिए कि z=x+iy और w=u+iv इकाई वृत्त पर स | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $z$ और $w$ इकाई वृत्त पर सम्मिश्र संख्याएँ हैं,इसलिए $|z|=1$ और $|w|=1$ है। इसका अर्थ है $z\bar{z}=1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z

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$8$

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(C) दिया गया है कि $z$ और $w$ इकाई वृत्त पर सम्मिश्र संख्याएँ हैं,इसलिए $|z|=1$ और $|w|=1$ है। इसका अर्थ है $z\bar{z}=1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$ और $w\bar{w}=1 \Rightarrow \bar{w}=\frac{1}{w}$। दिया गया है $z^2+w^2=1$। दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,हमें $\bar{z}^2+\bar{w}^2=1$ प्राप्त होता है। $\bar{z}=\frac{1}{z}$ और $\bar{w}=\frac{1}{w}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{z^2}+\frac{1}{w^2}=1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{z^2+w^2}{z^2w^2}=1$ हो जाता है। चूंकि $z^2+w^2=1$ है,इसलिए $\frac{1}{z^2w^2}=1$,अतः $z^2w^2=1$,जिसका अर्थ है $(zw)^2=1$,यानी $zw=1$ या $zw=-1$। स्थिति $1$: $zw=1$। तब $w=\frac{1}{z}$। $z^2+w^2=1$ में प्रतिस्थापित करने पर,$z^2+\frac{1}{z^2}=1 \Rightarrow z^4-z^2+1=0$ प्राप्त होता है। यह $z^2$ में एक द्विघात समीकरण है,जो $z^2 = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i\pi/3}$ देता है। इस प्रकार $z$ के $4$ मान प्राप्त होते हैं। स्थिति $2$: $zw=-1$। तब $w=-\frac{1}{z}$। $z^2+w^2=1$ में प्रतिस्थापित करने पर,$z^2+\frac{1}{z^2}=1$ प्राप्त होता है,जो स्थिति $1$ के समान है। यह भी $z$ के $4$ मान देता है। कुल क्रमित युग्मों $(z, w)$ की संख्या $4+4=8$ है।

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $a \bar{a}$	$(A)$ $-\frac{\pi}{3}$
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right)$	$(B)$ $-i \sqrt{3}$
$(iii)$ $a - \bar{a}$	$(C)$ $2i / \sqrt{3}$
$(iv)$ $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right)$	$(D)$ $1$
	$(E)$ $\pi / 3$
	$(F)$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

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माना $z_1$ और $z_2$ कोई दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि $3|z_1| = 4|z_2|$। यदि $z = \frac{3z_1}{2z_2} + \frac{2z_2}{3z_1}$ है,तो:

यदि $\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$ पूर्णतः वास्तविक है,तो $\cos ^3 \theta+\sin ^2 \theta+\cos \theta+1=$

यदि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\left(\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\right)^{2020}+\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{2026} +\sin \left(\sum_{j=1}^6(j+\omega)(j+\omega^2) \frac{3 \pi}{152}\right)=$

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