ધારો કે z=x+iy અને w=u+iv એ એકમ વર્તુળ પરના સ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $z$ અને $w$ એકમ વર્તુળ પરની સંકર સંખ્યાઓ છે,તેથી $|z|=1$ અને $|w|=1$ થાય. આનો અર્થ છે કે $z\bar{z}=1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$ અ

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $z$ અને $w$ એકમ વર્તુળ પરની સંકર સંખ્યાઓ છે,તેથી $|z|=1$ અને $|w|=1$ થાય. આનો અર્થ છે કે $z\bar{z}=1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$ અને $w\bar{w}=1 \Rightarrow \bar{w}=\frac{1}{w}$. આપેલ છે $z^2+w^2=1$. બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને $\bar{z}^2+\bar{w}^2=1$ મળે છે. $\bar{z}=\frac{1}{z}$ અને $\bar{w}=\frac{1}{w}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{z^2}+\frac{1}{w^2}=1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{z^2+w^2}{z^2w^2}=1$ થાય છે. $z^2+w^2=1$ હોવાથી,$\frac{1}{z^2w^2}=1$ મળે,તેથી $z^2w^2=1$,જેનો અર્થ છે કે $(zw)^2=1$,એટલે કે $zw=1$ અથવા $zw=-1$. કિસ્સો $1$: $zw=1$. તો $w=\frac{1}{z}$. $z^2+w^2=1$ માં મૂકતા,$z^2+\frac{1}{z^2}=1 \Rightarrow z^4-z^2+1=0$ મળે. આ $z^2$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જે $z^2 = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i\pi/3}$ આપે છે. આમ $z$ ની $4$ કિંમતો મળે. કિસ્સો $2$: $zw=-1$. તો $w=-\frac{1}{z}$. $z^2+w^2=1$ માં મૂકતા,$z^2+\frac{1}{z^2}=1$ મળે,જે કિસ્સા $1$ જેવું જ છે. આ પણ $z$ ની $4$ કિંમતો આપે છે. કુલ ક્રમિત જોડ $(z, w)$ ની સંખ્યા $4+4=8$ છે.

ધારો કે $z=x+iy$ અને $w=u+iv$ એ એકમ વર્તુળ પરના સંકર સંખ્યાઓ છે જેથી $z^2+w^2=1$ થાય. તો ક્રમિત જોડ $(z, w)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

જો $\left|z-\frac{2}{z}\right|=2$ હોય,તો $|z|$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

$\left(\frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}}\right)^3$ ની કિંમત શોધો.

$\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{1-i}\right)^{30}$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $z$ અને $w$ બે સંકર સંખ્યાઓ એવી છે કે જેથી $|z| \le 1$,$|w| \le 1$ અને $|z + iw| = |z - i\overline{w}| = 2$ થાય. તો $z$ ની કિંમત શોધો.

જો $z$ એ બિન-વાસ્તવિક સંકર સંખ્યા હોય, તો $\frac{\operatorname{Im}(z^5)}{(\operatorname{Im} z)^5}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module