જો $x+y=60$,$x>0$,$y>0$ હોય,તો $x y^3$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

બે કણો એક જ સીધી રેખામાં એક જ સમયે એક જ બિંદુથી એક જ દિશામાં ગતિ શરૂ કરે છે. પ્રથમ કણ અચળ વેગ $u$ થી ગતિ કરે છે અને બીજો કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી અચળ પ્રવેગ $f$ થી ગતિ શરૂ કરે છે. તો,

અનંત ઘટતી ભૂમિતિ શ્રેણીના પદોનો સરવાળો અંતરાલ $[-2, 3]$ પર વિધેય $f(x) = x^3 + 3x - 9$ ની મહત્તમ કિંમત જેટલો છે. જો શ્રેણીના પ્રથમ અને બીજા પદ વચ્ચેનો તફાવત $f'(0)$ જેટલો હોય,તો $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.

એક અપૂર્ણાંકનો છેદ તેના અંશના વર્ગ કરતાં $16$ વધારે છે. તો આ સંખ્યાની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

સાબિત કરો કે $h$ ઊંચાઈ અને $\alpha$ અર્ધ-શીર્ષકોણ ધરાવતા લંબવૃત્તીય શંકુમાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળવાળા નળાકારની ઊંચાઈ શંકુની ઊંચાઈ કરતાં ત્રીજા ભાગની હોય છે અને નળાકારનું મહત્તમ ઘનફળ $\frac{4}{27} \pi h^{3} \tan^{2} \alpha$ છે.

ધારો કે $S$ એ $R$ થી $R$ પરના તમામ બે વાર વિકલનીય વિધેયો $f$ નો ગણ છે,જેથી દરેક $x \in (-1, 1)$ માટે $\frac{d^2 f}{d x^2}(x) > 0$ થાય. $f \in S$ માટે,ધારો કે $X_f$ એ $(-1, 1)$ માં એવા બિંદુઓ $x$ ની સંખ્યા છે જેના માટે $f(x) = x$ થાય. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ એવું વિધેય $f \in S$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $X_f = 0$
$(B)$ દરેક વિધેય $f \in S$ માટે,$X_f \leq 2$ થાય છે
$(C)$ એવું વિધેય $f \in S$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $X_f = 2$
$(D)$ $S$ માં એવું કોઈ વિધેય $f$ અસ્તિત્વ ધરાવતું $\text{નથી}$ કે જેથી $X_f = 1$