જો $x=\sum_{n=0}^{\infty} \cos ^{2 n} \theta$,$y=\sum_{n=0}^{\infty} \sin ^{2 n} \theta$,$z=\sum_{n=0}^{\infty} \cos ^{2 n} \theta \sin ^{2 n} \theta$ અને $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોય,તો

નીચે આપેલ શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ પદ લખો અને તેને અનુરૂપ શ્રેઢી મેળવો:
$a_{1}=3, a_{n}=3a_{n-1}+2$ બધા $n > 1$ માટે.

ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,ધારો કે $a(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n - 1}$. તો:

જો $a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોય,તો $\frac{a}{bc}, \frac{1}{c}, \frac{2}{b}$ એ શેમાં હશે?

ધારો કે ચાર ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ $a_1, a_2, a_3, a_4$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. ધારો કે $b_1 = a_1$,$b_2 = b_1 + a_2$,$b_3 = b_2 + a_3$ અને $b_4 = b_3 + a_4$.
વિધાન-$I$: સંખ્યાઓ $b_1, b_2, b_3, b_4$ સમાંતર શ્રેણીમાં પણ નથી અને સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પણ નથી.
વિધાન-$II$: સંખ્યાઓ $b_1, b_2, b_3, b_4$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે.

ધારો કે $a_1, a_2, a_3, \ldots$ એક સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) છે. જો $a_7 = 3$ હોય,ગુણાકાર $a_1 a_4$ ન્યૂનતમ હોય અને તેના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શૂન્ય હોય,તો $n! - 4 a_{n(n+2)}$ ની કિંમત શોધો: