यदि frac{1}{sin 45^{circ} sin 46^{circ}}+frac | vedclass

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Question

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\sin(45^{\circ}+k) \sin(46^{\circ}+k)}$ है।सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपय

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(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\sin(45^{\circ}+k) \sin(46^{\circ}+k)}$ है।सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हम $\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करते हैं:$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((46^{\circ}+k) - (45^{\circ}+k))}{\sin(45^{\circ}+k) \sin(46^{\circ}+k)}$$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\cot(45^{\circ}+k) - \cot(46^{\circ}+k))$यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 46^{\circ} - \cot 47^{\circ}) + \ldots + (\cot 89^{\circ} - \cot 90^{\circ})]$$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [\cot 45^{\circ} - \cot 90^{\circ}]$चूंकि $\cot 45^{\circ} = 1$ और $\cot 90^{\circ} = 0$,इसलिए $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [1 - 0] = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.दिया गया है $S = \frac{1}{\sin x^{\circ}}$,इसलिए $x = 1$.अतः,$\sin \left(\frac{\pi}{2} xight) = \sin \left(\frac{\pi}{2} 	imes 1ight) = \sin \left(\frac{\pi}{2}ight) = 1$.

यदि $\frac{1}{\sin 45^{\circ} \sin 46^{\circ}}+\frac{1}{\sin 46^{\circ} \sin 47^{\circ}}+\ldots$ $45$ पदों तक $=\frac{1}{\sin x^{\circ}}$ है,तो $\sin \left(\frac{\pi}{2} x\right)=$

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