જો $\tan (\pi \cos \theta)=\cot (\pi \sin \theta)$ હોય,તો નીચેનામાંથી $\cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત કઈ છે?

એક ઉભા થાંભલાનો ઉપરનો $\frac{3}{4}$ ભાગ તેના પાયામાંથી પસાર થતા સમક્ષિતિજ સમતલ પરના અને પાયાથી $40 \ m$ દૂર આવેલા બિંદુએ $\tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ નો ખૂણો આંતરે છે. ઉભા થાંભલાની શક્ય ઊંચાઈ $....... \ m$ છે.

નીચેના વિધાનોનું અવલોકન કરો:
$(I)$ $\triangle ABC$ માં,$b \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{B}{2} = s$
$(II)$ $\triangle ABC$ માં,$\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a} \implies B = 90^{\circ}$
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $x, y$ અને $z$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $x, y$ અને $z$ એ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ છે જે અનુક્રમે તેના ખૂણા $X, Y$ અને $Z$ ની સામે છે. જો $\tan \frac{X}{2} + \tan \frac{Z}{2} = \frac{2y}{x+y+z}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A) 2Y = X + Z$
$(B) Y = X + Z$
$(C) \tan \frac{X}{2} = \frac{x}{y+z}$
$(D) x^2 + z^2 - y^2 = xz$

ત્રિકોણ $PQR$ માં,$P$ એ સૌથી મોટો ખૂણો છે અને $\cos P = \frac{1}{3}$ છે. વધુમાં,ત્રિકોણનું અંતઃવૃત બાજુઓ $PQ, QR$ અને $RP$ ને અનુક્રમે $N, L$ અને $M$ પર સ્પર્શે છે,જેથી $PN, QL$ અને $RM$ ની લંબાઈ ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ છે. તો ત્રિકોણની બાજુ(ઓ)ની શક્ય લંબાઈ(ઓ) છે:
$(A) 16$
$(B) 18$
$(C) 24$
$(D) 22$

$\triangle ABC$ માં,$r r_1 \cot \frac{A}{2} + r r_2 \cot \frac{B}{2} + r r_3 \cot \frac{C}{2}$ ની કિંમત શોધો.